UE1.5 — Mathématiques pour l'IoT

①

Comprendre la transformée de Fourier et l'analyse fréquentielle

Savoir expliquer

②

Implémenter la FFT en Python avec NumPy

Savoir faire

③

Interpréter un spectre de fréquences de signal capteur

Savoir analyser

④

Identifier les fréquences dominantes d'un signal bruité

Savoir produire

1. Transformée de Fourier et FFT

La transformée de Fourier décompose un signal temporel en ses composantes fréquentielles. Tout signal périodique peut s'écrire comme une somme de sinusoïdes de fréquences, amplitudes et phases différentes. La FFT (Fast Fourier Transform) est l'algorithme rapide qui calcule cette transformée en O(n log n) au lieu de O(n²).

Pour un signal échantillonné à fréquence f_e, la FFT produit n/2 valeurs fréquentielles de 0 Hz à f_e/2 (fréquence de Nyquist). Les pics dans le spectre révèlent les fréquences dominantes du signal.

2. Application aux capteurs IoT

Analyse vibratoire d'un moteur : un capteur accéléromètre enregistre les vibrations. La FFT révèle les fréquences de rotation et permet de détecter des défauts mécaniques (déséquilibre, roulement usé).

Exemple : un moteur tournant à 1500 tr/min produit une fréquence fondamentale de 25 Hz. Un pic à 25 Hz indique un fonctionnement normal, tandis que des harmoniques impairs suggèrent un problème.

Exercice 1 — Analyse spectrale d'un signal capteur

a) Appliquer sur données réelles : Générez un signal sinusoïdal bruité (10 Hz + 50 Hz + bruit gaussien) et calculez sa FFT avec numpy.fft.fft().

b) Comparer théorie/pratique : Comparez le spectre obtenu pour différentes fréquences d'échantillonnage (100 Hz, 200 Hz, 1000 Hz). Que constatez-vous sur le repliement spectral ?

c) Visualisation matplotlib : Affichez le signal temporel et son spectre amplitude-fréquence côte à côte (subplot).

d) BONUS — Implémenter sur Arduino : Programmez un analyseur de spectre temps réel avec un micro électret et affichez les bandes sur un LCD ou une matrice de LEDs.

①

Comprendre le rôle des filtres numériques dans l'élimination du bruit

Savoir expliquer

②

Implémenter un filtre moyenneur et un filtre passe-bas RC

Savoir faire

③

Comparer filtre de Kalman et filtre complémentaire

Savoir analyser

④

Nettoyer un signal de capteur ultrasonique bruité

Savoir produire

1. Filtres linéaires simples

Le filtre moyenneur (moving average) remplace chaque point par la moyenne des N derniers échantillons. Simple mais il introduit un décalage temporel. Le filtre exponentiel (passe-bas du 1er ordre) pondère la nouvelle mesure par un coefficient α : y[k] = α·x[k] + (1-α)·y[k-1]. Plus α est petit, plus le filtrage est fort.

2. Filtre de Kalman

Le filtre de Kalman est un estimateur optimal récursif qui combine prédiction et mesure pour estimer l'état d'un système. Il est idéal pour fusionner des capteurs bruités. Étapes : ① Prédiction de l'état et de la covariance ② Calcul du gain de Kalman ③ Mise à jour de l'estimation à partir de la mesure.

Exercice 2 — Filtrage d'un signal bruité

a) Appliquer sur données réelles : Générez un signal avec bruit et appliquez un filtre moyenneur (N=5, N=20, N=50). Comparez l'atténuation du bruit et le décalage.

b) Comparer théorie/pratique : Implémentez un filtre de Kalman 1D sur une mesure de température. Comparez avec le filtre exponentiel.

c) Visualisation matplotlib : Affichez signal brut + signal filtré (moyenneur et Kalman) sur le même graphique.

d) BONUS — Implémenter sur Arduino : Programmez un filtre complémentaire pour fusionner accéléromètre et gyroscope (angle = 0.98·(angle + gyro·dt) + 0.02·accel).

①

Distinguer exactitude, précision, biais et résolution

Savoir expliquer

②

Calculer écart-type, variance et intervalle de confiance

Savoir faire

③

Quantifier l'erreur de mesure d'un capteur

Savoir analyser

④

Produire un rapport de caractérisation de capteur

Savoir produire

1. Métrologie des capteurs

Un capteur IoT n'est jamais parfait. Quatre grandeurs caractérisent sa qualité : l'exactitude (proximité de la vraie valeur), la précision (reproductibilité des mesures), le biais (erreur systématique) et la résolution (plus petite variation détectable).

L'écart-type σ mesure la dispersion des mesures autour de la moyenne. L'intervalle de confiance à 95% (moyenne ± 1.96·σ/√n) donne la plage où se trouve la vraie valeur avec 95% de certitude.

2. Caractérisation d'un capteur

Protocole : ① Prendre N mesures dans des conditions stables ② Calculer moyenne et écart-type ③ Tracer l'histogramme ④ Vérifier la normalité (test de Shapiro-Wilk) ⑤ Déterminer l'incertitude-type.

Exercice 3 — Caractérisation statistique d'un capteur

a) Appliquer sur données réelles : Relevez 100 mesures d'un capteur DHT22 en conditions stables. Calculez moyenne, écart-type, variance, min, max.

b) Comparer théorie/pratique : Comparez l'écart-type empirique avec celui annoncé dans la datasheet (±0.5°C pour DHT22).

c) Visualisation matplotlib : Tracez l'histogramme des mesures (30 bins) et superposez la courbe de Gauss correspondante.

d) BONUS — Implémenter sur Arduino : Programmez un affichage LCD qui montre température, écart-type glissant et nombre d'échantillons.

①

Comprendre la calibration par régression linéaire

Savoir expliquer

②

Calculer la droite de calibration avec la méthode des moindres carrés

Savoir faire

③

Évaluer la qualité de la calibration avec R²

Savoir analyser

④

Corriger la non-linéarité d'un capteur par interpolation polynomiale

Savoir produire

1. Principe de calibration

Un capteur produit une tension (sortie brute) qu'il faut convertir en grandeur physique (température, pression, etc.). La calibration établit la relation mathématique entre la sortie du capteur et la valeur réelle mesurée par un instrument de référence.

La régression linéaire par moindres carrés trouve la droite y = ax + b qui minimise la somme des carrés des résidus. Le coefficient de détermination R² (0 ≤ R² ≤ 1) indique la qualité de l'ajustement : plus proche de 1, meilleure est la calibration.

2. Calibration non linéaire

Certains capteurs (thermistance NTC, photodiode) ont une réponse non linéaire. On utilise alors une régression polynomiale d'ordre 2 ou 3 : y = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³. Il faut éviter le surapprentissage (overfitting) en limitant le degré du polynôme.

Exercice 4 — Calibration d'une thermistance NTC

a) Appliquer sur données réelles : Mesurez la résistance d'une NTC à 5 températures connues (glace fondante, ambiante, main, eau chaude). Construisez le tableau température-résistance.

b) Comparer théorie/pratique : Calibrez par régression linéaire puis polynomiale degré 2 et 3. Comparez les R² et les résidus.

c) Visualisation matplotlib : Tracez les points expérimentaux, la droite de calibration et la courbe polynomiale sur le même graphique.

d) BONUS — Implémenter sur Arduino : Intégrez la calibration polynomiale dans le firmware pour afficher la température corrigée en temps réel.

①

Comprendre la boucle de rétroaction (feedback control)

Savoir expliquer

②

Décomposer les trois termes P, I, D

Savoir faire

③

Régler les gains Kp, Ki, Kd par la méthode de Ziegler-Nichols

Savoir analyser

④

Réguler la température d'un four avec Arduino PID

Savoir produire

1. Principe du PID

Le correcteur PID (Proportionnel-Intégral-Dérivé) est l'algorithme de contrôle le plus utilisé dans l'industrie (90% des boucles de régulation). Il calcule la commande u(t) à partir de l'erreur e(t) = consigne - mesure :

u(t) = Kp·e(t) + Ki·∫e(τ)dτ + Kd·de(t)/dt

Proportionnel (Kp) : réaction immédiate à l'erreur. Un Kp trop fort provoque des oscillations.
Intégral (Ki) : élimine l'erreur statique en accumulant l'erreur passée. Risque de dépassement (windup).
Dérivé (Kd) : anticipe les variations futures. Stabilise le système mais amplifie le bruit.

2. Méthode de Ziegler-Nichols

① Mettre Ki et Kd à 0 ② Augmenter Kp jusqu'à obtenir des oscillations soutenues → noter K_u (gain ultime) et T_u (période ultime) ③ Appliquer : Kp = 0.6·K_u, Ki = 2·Kp/T_u, Kd = Kp·T_u/8.

Exercice 5 — Régulation PID de température

a) Appliquer sur données réelles : Simulez numériquement un système du 1er ordre avec retard (four) et implémentez un PID en Python.

b) Comparer théorie/pratique : Testez l'effet de Kp seul (sans I ni D). À partir de quel Kp le système oscille-t-il ? Comparez avec Ziegler-Nichols.

c) Visualisation matplotlib : Tracez consigne, mesure et commande sur un même graphique. Ajoutez des bandes pour l'erreur statique.

d) BONUS — Implémenter sur Arduino : Réalisez un régulateur de température avec MOSFET + résistance chauffante, thermistance et affichage LCD de la consigne et de la mesure.

①

Comprendre les concepts de fiabilité, MTBF et disponibilité

Savoir expliquer

②

Calculer la probabilité de défaillance d'un système

Savoir faire

③

Modéliser la fiabilité avec la loi exponentielle

Savoir analyser

④

Dimensionner la redondance d'un réseau de capteurs

Savoir produire

1. Fiabilité d'un système IoT

La fiabilité R(t) est la probabilité qu'un système fonctionne sans défaillance pendant une durée t. Le MTBF (Mean Time Between Failures) est la durée moyenne entre deux défaillances. Pour un système dont le taux de défaillance λ est constant : R(t) = e^-λt et MTBF = 1/λ.

La disponibilité A = MTBF / (MTBF + MTTR) où MTTR est le temps moyen de réparation. Un système IoT critique doit viser A > 99.9% (3-nines).

2. Redondance

La redondance parallèle augmente la fiabilité : R_totale = 1 - (1-R)ⁿ. Exemple : 3 capteurs identiques avec R=0.9 en parallèle donnent R=0.999.

Exercice 6 — Fiabilité d'un réseau IoT

a) Appliquer sur données réelles : Un capteur a un MTBF de 10 000 h et un MTTR de 2 h. Calculez sa disponibilité. Combien de 9 après la virgule ?

b) Comparer théorie/pratique : Comparez la fiabilité d'un système en série (3 capteurs) vs. en parallèle (3 capteurs). Quel est l'impact sur la probabilité de défaillance à 1 an ?

c) Visualisation matplotlib : Tracez R(t) pour λ = 0.0001, 0.0005, 0.001 sur 10 000 h. Montrez la zone MTBF.

d) BONUS — Implémenter sur Arduino : Programmez un compteur de temps de fonctionnement avec watchog et enregistrement des reset sur EEPROM.

①

Comprendre la structure d'une série temporelle IoT

Savoir expliquer

②

Décomposer une série en tendance, saisonnalité et résidu

Savoir faire

③

Appliquer les modèles ARIMA et Prophet à des données capteurs

Savoir analyser

④

Prévoir les valeurs futures d'une grandeur IoT

Savoir produire

1. Séries temporelles en IoT

Un capteur IoT produit une série temporelle : une séquence de mesures indexées dans le temps. L'analyse de ces séries permet la maintenance prédictive, la détection d'anomalies et l'optimisation énergétique.

La décomposition classique sépare trois composantes : la tendance (évolution long terme), la saisonnalité (cycles journaliers, hebdomadaires) et le résidu (bruit aléatoire).

2. Modèles de prévision

ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) modélise la série par sa propre autocorrélation. Paramètres : p (ordre AR), d (différenciation), q (ordre MA). Pour des données IoT avec forte saisonnalité, on utilise SARIMA.

Prophet (Meta) décompose la série avec une approche additive flexible, gère les points de changement de tendance et les effets de vacances.

Exercice 7 — Prévision de température avec ARIMA

a) Appliquer sur données réelles : Chargez un fichier CSV de températures IoT (30 jours, pas 10 min). Décomposez la série avec statsmodels.

b) Comparer théorie/pratique : Identifiez les paramètres p,d,q par analyse des corrélogrammes ACF et PACF. Ajustez et comparez avec Prophet.

c) Visualisation matplotlib : Tracez les 7 derniers jours réels et la prévision sur 48h avec intervalle de confiance à 95%.

d) BONUS — Implémenter sur Arduino : Programmez une tendance glissante simple (régression linéaire sur les 50 dernières mesures) et affichez la pente sur LCD.

①

Comprendre les matrices de rotation et quaternions

Savoir expliquer

②

Fusionner accéléromètre et gyroscope (IMU)

Savoir faire

③

Implémenter un filtre complémentaire et un AHRS

Savoir analyser

④

Estimer l'orientation d'un objet avec MPU6050

Savoir produire

1. Représentation de l'orientation

L'orientation d'un objet dans l'espace peut être représentée par des angles d'Euler (roulis φ, tangage θ, lacet ψ), des matrices de rotation (3×3 orthogonales) ou des quaternions (q = w + xi + yj + zk). Les quaternions évitent le problème du bloc de cardan (gimbal lock).

2. Filtre complémentaire

Le gyroscope est précis à court terme mais dérive (intégration du biais). L'accéléromètre est stable à long terme mais bruité à court terme. Le filtre complémentaire combine les deux : angle_final = 0.98·(angle_final + gyro·dt) + 0.02·angle_accel. Le coefficient 0.98/0.02 est la fréquence de coupure du filrage.

L'AHRS (Attitude and Heading Reference System) utilise un filtre de Madgwick ou Mahony pour estimer l'orientation complète à partir de 9 axes (accéléro + gyro + magnétomètre).

Exercice 8 — Fusion IMU avec MPU6050

a) Appliquer sur données réelles : Lisez les données brutes d'un MPU6050 (accéléro + gyro). Calculez les angles à partir de l'accéléromètre seul et du gyroscope seul.

b) Comparer théorie/pratique : Implémentez le filtre complémentaire. Comparez la dérive du gyroscope pur vs. l'estimation filtrée sur 60 secondes.

c) Visualisation matplotlib : Tracez le roulis et le tangage estimés par les trois méthodes (accélération seule, gyroscope seul, complémentaire) en temps réel.

d) BONUS — Implémenter sur Arduino : Programmez un niveau digital avec le MPU6050 : allumez une LED rouge si l'angle dépasse ±15°, verte sinon. Affichez l'angle sur LCD.

Mathématiques pour l'IoT

Traitement du signal — FFT et spectres

1. Transformée de Fourier et FFT

2. Application aux capteurs IoT

Filtres numériques — passe-bas, passe-haut, Kalman

1. Filtres linéaires simples

2. Filtre de Kalman

Statistiques pour capteurs — erreur, précision, biais

1. Métrologie des capteurs

2. Caractérisation d'un capteur

Régression et calibration des capteurs

1. Principe de calibration

2. Calibration non linéaire

Systèmes de contrôle — PID

1. Principe du PID

2. Méthode de Ziegler-Nichols

Probabilités et fiabilité des systèmes IoT

1. Fiabilité d'un système IoT

2. Redondance

Séries temporelles IoT — ARIMA et Prophet

1. Séries temporelles en IoT

2. Modèles de prévision

Algèbre linéaire pour fusion de capteurs

1. Représentation de l'orientation

2. Filtre complémentaire